Пусть в эфире в точках А₁ и А₂ происходят события S₁ и S₂ соответственно. Первое событие S₁ происходит в момент t, а второе событие S₂ - в момент t + Δt. Пусть относительно эфира движется со скоростью v система К' , начало которой в момент t оказывается в точке О₁, а в момент t + Δt - в точке О₂ (рис. 6). Тогда вектор О₁О₂ равен v Δt. Из точки О₁ в точку А₁проведем вектор r₁, из точки О₂ в точку А₂- вектор r₂, а из А₁ в А₂ - вектор r. Имеем

r₁ + r = v ∙Δt +r₂      (1.13)

В эфире расстояние между точками А₁ и А₂ равно | r | = r , а Δt - промежуток времени между событиями. Будем называть интервалом s между событиями следующую величину

     (1.14)

Найдем промежуток времени между событиями по часам движущейся системы. Пусть часы системы К', находящиеся в ее начале, показывают время t' в момент t эфирного времени, когда само начало системы оказывается в точке О₁. Часы системы, находящиеся в этот момент t в точке А₁, показывают время из-за имеющегося дефекта синхронизации. В момент t+Δt (начало системы находится в точке О₂) часы в начале системы показывают время . Часы системы, находящиеся в этот момент t +Δt в точке А₂ , показывают время .

Δt' = t'₂-t'₁=Δt(r₁-r₂) v /c² .

Δt' = .

Так как , то окончательно имеем

.    (1.15)

Теперь найдем в системе К' расстояние между точками, в которых произошли события S₁ и S₂ . С точки зрения наблюдателей системы К' точка первого события остается неподвижной относительно системы. В системе эту точку могут обозначить меткой, которая будет двигаться в эфире со скоростью v , переходя из точки А₁ в точку А'₁. Радиус-вектор, проведенный в системе К' из ее начала в точку первого события, параллельным переносом переходит из вектора r₁ в вектор О₂А'₁=r₁ к тому моменту, когда происходит второе событие. Для системы К' вектором, проведенным из точки первого события в точку второго события, будет вектор r₁₂ = r₂ - r₁ . Длина вектора r₁₂ , измеренная в системе К' , как раз и будет расстоянием между точками событий по мнению наблюдателей системы К' . Она равна r' = r₁₂ ,

где - угол между r₁₂ и v , измеренный в эфире. Тогда

.

Так как r₁₂ = r₂ - r₁ , то, учитывая (1.13), получим

.

К получившемуся выражению прибавим и вычтем c²∙Δt²:

r² - c²∙Δt²+(c²+v²)Δt² + (-2 rv ∙ Δt (c² - v²) + (rv)² + v⁴ ∙ Δt² - 2v² ∙ Δt rv)/

(c² - v²) = r² - c² ∙ Δt² + ((c² - v²)(c² + v²) ∙ Δt² - 2 r v ∙ Δt c² + (r v)² +

+ v⁴ ∙ Δt²) / (c² - v²)

r'² = r² - c² ∙ Δt² + (c² ∙ Δt - r v)² / (c² - v²) .    (1.16)

Из (1.15) и (1.16) найдем интервал между событиями в системе К':

s'= .

Поскольку система К' взята произвольно, то для другой системы К'' тоже будем иметь s=s'' . Отсюда s'=s'' для любых систем К' и К''. Интервал инвариантен. Подчеркнем, что этот результат получается именно при синхронизации световым сигналом по правилу Эйнштейна.

Пусть событие S₁ состоит в том, что некоторое тело Т находится в точке А₁, а событие S₂ - в том, что это тело находится в точке А₂. Пусть тело Т двигалось равномерно со скоростью v₀ вдоль вектора r. Очевидно r = v₀ ∙ Δt и r = v₀ ∙ Δt . Найдем скорость v' тела Т с точки зрения системы К', в которой оно за время Δt' проходит расстояние r' .

v'² = r'² / Δt'² = c² + (r² - c² ∙ Δt²) c² (c² - v²) / (c²∙Δt - r v)² =

= . 

.    (1.17)

Теперь свяжем с телом Т систему К, а в системе К' поместим неподвижное относительно нее тело Т'. Найдем скорость тела Т' в системе К. Поскольку теперь скорость системы равна v₀, то в (1.17) вместо v входит v₀. Скорость тела теперь равна v, а, значит, в (1.17) заменяем v₀ на v. Но в формулу (1.17) обе величины v и v₀ входят равноправным образом и, заменив v₀ на v, а v на v₀ , мы получим то же значение v'. Вычисляя скорость тела Т в системе К' , связанной с телом Т' , или скорость тела Т' в системе К, связанной с телом Т, мы получаем одно и то же значение. Скорость v' тела Т' с точки зрения наблюдателя на теле Т равна скорости v' тела Т с точки зрения наблюдателя, находящегося на теле Т'.

Покажем, что подкоренное выражение в (1.17) неотрицательно. Для этого заметим, что (c² - v v₀)² ≥ (c² - v v₀)² , а (c² - v v₀)² ≥(c² - v²) (c² - v₀²) .

с⁴ + v²v₀² - 2c²vv₀ ≥ c⁴ - c²v₀² - c²v² + v²v₀² ,

v² + v₀² - 2vv₀ ≥ 0 .

Можно показать, что в случае переменной v₀ длина в системе К' вектора, равного выражается формулой (1.17), то есть в этой формуле под скоростью v₀ можно понимать переменную величину v₀ = v₀ (t). Скорость v системы К' постоянна.

.    (1.18)